Évolution des connaissances et des pratiques
d'étudiants travaillant avec un logiciel éducatif
en algèbre linéaire

Mohamed Oudrhiri
 

Résumé
L'avènement du numérique a révolutionné de nombreux aspects de notre société, et l'éducation ne fait pas exception à cette transformation profonde. Les logiciels éducatifs se sont rapidement imposés comme des outils incontournables dans le domaine de l'enseignement, offrant un éventail de possibilités novatrices pour enrichir l'apprentissage. Ces programmes informatiques interactifs ont ouvert de nouvelles portes à la personnalisation, à l'engagement et à l'efficacité pédagogique. Dans cet article, nous avons essayé, à travers l'analyse d'un logiciel éducatif et son expérimentation en observant des étudiants travaillant avec ce logiciel, de cerner à quel degré il peut aider les étudiants à maîtriser le concept de base des « Espaces vectoriels » et quels types d'apprentissage sont possibles et quelles procédures les sous-tendent.

Mots clés : logiciel éducatif, numérique, algèbre linéaire, didactique.

   La réalisation de logiciels éducatifs et leur intégration dans les situations d'enseignement introduisent une nouvelle complexité dans le champ de la didactique, mais c'est aussi l'occasion d'un nouveau développement théorique en permettant d'aborder le problème de la modélisation computationnelle des processus didactiques. Cette intégration des logiciels éducatifs ne va pas aller de soi. Elle risque de perturber les équilibres établis aussi bien au sein des contenus d'enseignement que des méthodes d'enseignement et d'apprentissage. Et donc pour soutenir et guider efficacement les évolutions nécessaires, nous avons choisi de présenter une analyse à deux niveaux du logiciel « algèbre Linéaire Multimédia » : le niveau conceptuel et le niveau de l'interaction avec la machine ainsi qu'un compte-rendu de la mise à l'essai du logiciel afin de dégager certaines régularités quant aux interactions qui font sens pour l'apprenant et modèlent ses conduites.

1. Présentation du logiciel

   Le logiciel est disponible en libre service au sein de l'université Mohamed V. Il s'adresse à des étudiants de première année de Licence ou équivalent. Ses séquences portent sur l'acquisition ou la consolidation de la notion de « bases de sous-espaces vectoriels » et en son sein des notions de systèmes générateurs, somme et intersection de sous-espaces vectoriels, noyau et image d'une application linéaire. Il est conçu comme un environnement habité où l'étudiant se promène non pas comme un spectateur passif, mais comme acteur d'un jeu où il peut même créer lui-même des exercices à faire ou à proposer à ses camarades.

   Le logiciel possède deux modes de fonctionnement :

1. Mode tuteur : la machine donne accès aux connaissances, pose des exercices, analyse les réponses et donne son verdict et éventuellement la solution ;

2. Mode solveur : c'est l'utilisateur qui pose un problème et la machine contrôle la réponse (de l'apprenti) ou bien fournit une solution.

   L'entrée dans les activités se fait par un écran d'introduction où on trouve les titres explicites de chaque activité. Ensuite il suffit de cliquer sur le numéro correspondant à l'activité souhaitée pour pouvoir y accéder. S'affichent alors le titre et quatre choix : un rappel théorique, une liste d'exercices simples, une liste d'exercices plus complexes et un exercice résolu. Mais ce dernier fonctionne comme la liste d'exercices simples. On ne peut accéder à l'exercice résolu qu'à partir de l'aide. Un code est attribué à chaque série pour qu'on puisse la revisiter ultérieurement, juste en entrant son code.

   L'étudiant dispose d'un rappel théorique qu'il peut consulter s'il le désire en cliquant sur le menu « Aide ». Il y trouvera la stratégie adoptée dans la résolution des exercices exposée, en respectant la logique du contenu. Il peut suivre le cheminement avec des explications sur les choix effectués et les démonstrations requises afin de comprendre les mécanismes du raisonnement et de bien mettre en évidence l'enchaînement des arguments. Les concepts d'algèbre linéaire utilisés dans la démonstration sont en rouge et un simple clique sur le concept permet d'obtenir sa définition. Les prérequis sont très réduits et se résument à la résolution d'un système d'équations linéaires à plusieurs inconnues mais on peut supposer que les étudiants peuvent par eux-mêmes opérer les ajustements nécessaires grâce aux exercices résolus. Toujours dans l'aide, l'étudiant dispose aussi d'un exercice corrigé mettant en scène, d'une manière fidèle, la méthode proposée dans le rappel théorique. C'est un pont entre le côté abstrait de la méthode proposée et les exercices du thème.

   Les activités proposées pour chaque thème sont des exercices par série de six. Les énoncés sont courts et sont faits sur le même moule que « l'exercice corrigé » mais de niveau de complexité différent. La dimension des espaces vectoriels change ainsi que le nombre des vecteurs générateurs ou des équations qui définissent les sous-espaces vectoriels. Ce sont des exercices à réponse libre. Les consignes sont formulées au moyen de phrases impératives « Trouver une base de... » ou « Trouver les équations... ». Nous allons donner un exemple d'exercice proposé pour chaque thème :

Thème 1 : Équations d'un sous-espace défini par des générateurs.
Donner des équations (en nombre minimum) caractérisant le sous-espace vectoriel E de R engendré par la famille de vecteurs : {(-4,-4, 1, 2), (-3, -2, -4, -4), (-3, 2, 1, 0)}.

Thème 2 : Base d'un sous-espace défini par des équations
Trouver une base d'un sous-espace vectoriel E de R3 défini par les équations :
3x + 2y + 3z = 0 et - 3x + y - z-t = 0.

Thème 3 : Base d'un sous-espace défini par des générateurs
Un sous-espace vectoriel E de R⁴ est engendré par la famille de vecteurs :
{(1,2, -2, 1), (4, -4, 3, -3), (2, 4, 2, -3)}. Extraire de cette famille une base de E.

Thème 4 : Compléter une famille libre en une base. Recherche d'un supplémentaire

Un sous-espace vectoriel E de R³ est défini par les équations : -x - 2y + 3z = 0 ; trouver une base de E qui contienne les vecteurs : (-2, 1, 0).

Thème 5 : Bases et équations de sommes et intersections de sous-espaces vectoriels
Dans R³, un sous-espace E' est engendré par la famille : ((1, 2, 1)} et un sous-espace E « défini par les équations : x - 2y = 0 et -2y + z = 0 ; trouver une base de E'+E »

Thème 6 : Bases et équations du noyau et de l'image d'une application linéaire
Soit l'application linéaire de R³ dans R³ définie par la matrice ci-contre :

–3 –1  0 
 3   3   2 
–3 –2 −1 

Trouver une base de kerf et une base de Imf.

   Les commentaires du logiciel relatifs aux erreurs des apprenants sont les suivants :

1. Il affiche le seul commentaire évaluatif : « Grosse erreur ! » et elle précise que le vecteur nul ne peut être élément d'une base ;
2. Il montre que la somme des dimensions du noyau et de l'image est différente de la dimension de l'espace de départ ( dans le cas du thème 6 ) ;
3. Il montre la dépendance des vecteurs en précisant la relation qui lie les vecteurs ;
4. Il précise que le vecteur ne vérifie pas l'équation (sans vraiment le montrer) ;
5. Il donne l'exemple d'un vecteur qui appartient au sous-espace et qui n'est pas combinaison linéaire des vecteurs proposés.

   À la fin de la série des six exercices ou quand l'apprenant veut changer de série, le logiciel procède à une évaluation. Un bilan s'affiche alors indiquant le nombre d'exercices traités, des mauvaises réponses et des réponses exactes ainsi que le nombre de solutions consultées pour chaque exercice de la série. Mais il n'y a pas d'appréciation concernant l'atteinte d'objectifs ou de conseils d'orientation vers d'autres exercices.

2. Analyse du logiciel

   Nous avons fait une analyse didactique, centrée sur les contenus mathématiques en jeu et leurs gestions possibles. Nous avons essayé d'analyser les activités proposées ou permises par le logiciel, identifier les variables didactiques des tâches, leur déroulement, les mises en situation, les consignes, le mode utilisateur, les types de réponses analysées par le système, et surtout les commentaires, les aides, l'évaluation du travail de l'apprenti et l'individualisation.

2.1. La présentation

   L'objectif principal est de donner aux étudiants des méthodes pour trouver des bases de sous-espaces vectoriels définis par des équations ou des vecteurs générateurs et de sous-espaces vectoriels définis comme intersection ou somme de sous-espaces vectoriels ainsi que du noyau et de l'image d'une application linéaire.

   L'entrée dans les activités est claire, les titres des thèmes sont assez explicites et l'aide est précise et suffisante du moins pour démarrer les exercices. Les étudiants sont ensuite invités à résoudre des exercices similaires mais de niveau de complexité différent. Les exercices sont destinés à susciter un approfondissement de la compréhension et à fixer des modèles, des solutions types et des algorithmes dans la mémoire et qu'il suffira d'appliquer lorsque des exercices semblables se présenteront ultérieurement.

   Le logiciel utilise les techniques hypertextes. Ces dernières interviennent comme ressource supplémentaire aux aides proposées. Il comporte des rappels théoriques structurés sous forme de méthodes directement applicables aux exercices. Le logiciel présente un cours « orienté exercice » qui présente l'avantage d'être plus synthétique et plus court qu'un cours traditionnel. Inversement le grand nombre d'exercices permet de retenir leurs résolutions ce qui ne peut que favoriser l'apprentissage des méthodes car il est toujours plus simple de retenir une méthode si l'on peut la relier à un exercice. Le but de ce produit est la maîtrise et, si possible, l'automaticité, indispensable pour s'attaquer à des exercices plus conceptuels.

   Le logiciel n'accepte que des valeurs entières comprises entre –999 et 999. Et nous avons pu constater d'après nos essais que le logiciel ne commente pas toute la solution, entrée par l'étudiant, quand elle contient plusieurs erreurs. Le logiciel commente les réponses suivant un ordre préétabli ( l'étudiant n'est pas informé de ce mode de fonctionnement ). Dans le cas des bases, l'ordre est le suivant :

1. Vérifier si tous les vecteurs sont différents du vecteur nul ;
2. Vérifier si la somme des dimensions du noyau et de l'image est différente de la dimension de l'espace de départ ( dans le cas du thème 6 ) ;
3. Vérifier si les vecteurs sont indépendants ;
4. Vérifier si le premier vecteur entré appartient au sous-espace, ensuite le deuxième ainsi de suite ;
5. Vérifier si la famille est génératrice.

   Donc par exemple si deux vecteurs n'appartiennent pas au sous-espace et un troisième appartient, la machine ne fera son commentaire que par rapport au premier et ne dira rien concernant le deuxième ou le troisième. Autre exemple, si les vecteurs sont liés mais n'appartiennent pas au sous-espace, elle fera remarquer que les vecteurs sont liés mais n'évoquera pas leur non-appartenance au sous-espace.

   Une gestion des réponses est présente tout au long du logiciel à la suite de chaque exercice et non pas de toute la série. Suite à une bonne réponse, il n'y a pas de commentaires informatifs, de renforcement ou d'éclaircissement. Il y a juste un commentaire évolutif : « Toutes mes félicitations ! ! ! ». Après une mauvaise réponse, les commentaires informatifs sont basés sur des contre-exemples pour montrer pourquoi la réponse ne peut être juste. La plupart des commentaires est suivie de la formule : « Revoyez vos calculs ! »

2.2. Intervention et contenu du logiciel

   Le logiciel peut intervenir, dans le cursus de formation, après que les étudiants ont suivi le cours sur ces notions et même quelques exercices d'application. Le logiciel ne comporte pas un cours détaillé mais un rappel théorique succinct où il y a juste un exposé de la méthode à suivre pour résoudre les exercices d'un thème sans démonstrations des théorèmes cités. Donc il peut être employé en corrélation avec un enseignement traditionnel comme entraînement et renforcement de ces notions.

   Le logiciel ne s'écarte pas du programme traditionnel sur les bases d'un espace vectoriel. Mais la structure, la vision et les exercices qu'il propose paraîtront sans doute originaux. Il cherche à faire travailler les étudiants sur l'articulation entre les points de vue cartésien et paramétrique des sous-espaces vectoriels. La conversion entre ces deux points de vue occupe une place importante à travers l'exposition de méthodes fortement algorithmiques basées sur les techniques de résolution de systèmes linéaires.

2.3. Apprentissage de méthodes

   L'objectif principal du logiciel est de donner aux étudiants des méthodes pour trouver des bases de sous-espaces vectoriels définis par des équations ou des vecteurs générateurs, de sous-espaces vectoriels définis comme intersection ou somme de sous-espaces vectoriels ainsi que du noyau et de l'image d'une application linéaire.

   Certes ces activités sont de nature technique, mais elles demandent des connaissances conceptuelles pour y être à l'aise, et en particulier pour disposer de moyens de vérification et de contrôle. Prenons un exemple de « méthode » tiré du logiciel. Pour trouver une base de l'intersection de deux sous-espaces vectoriels E défini par une famille génératrice et F défini par des équations, le logiciel propose la méthode suivante qui fait appel à d'autres méthodes déjà données dans d'autres thèmes :

• on sait que l'intersection de deux sous-espaces est un sous-espace ;
• on peut trouver des équations (en nombre minimum) qui définissent le sous-espace vectoriel, à partir de la famille génératrice. E est alors défini par des équations : e1,..., ep (thème 1).
• F est défini par q équations : fi, ... , fo
• E n F est alors déterminé par le système des p + q équations : e1, ... , ep , fi, ... , fa
• On est donc ramené à chercher une base d'un sous-espace vectoriel défini par des équations, problème qui relève d'une méthode de résolution à la disposition des étudiants (thème 2).

   On peut voir que la méthode est fortement algorithmique. Les techniques sont en nombre minimum et les étapes intermédiaires faisant progresser l'exercice vers sa forme finale où l'on peut déduire la solution sont élémentaires.

2.4. Explications et commentaires

   Ce qui caractérise l'explication et le commentaire sont leur contextualité. L'enseignant explique en « situation », en fonction du contenu et de l'auditoire. Les explications assénées dans un cours magistral pour une centaine d'étudiants différent des explications adressées à quelques étudiants, dans un TD, en train de chercher un exercice. Les types d'explication diffèrent selon que l'on veut répondre à une question ou enseigner des connaissances de type comportemental, conceptuel ou réflexif. De même, l'explication réponse à une erreur diffère selon le type de cette erreur : erreur de calcul, méconnaissance du cours, existence d'un concept erroné renvoyant à un obstacle épistémologique ou d'un « faux théorèmes », ... Cette explication peut être une simple reformulation d'une explication déjà donnée ou un rappel du cours comme elle peut prendre la forme de questions bien choisies, un exercice analogue, un changement de cadre...

   Dans le logiciel, le choix de ne pas donner les solutions détaillées des exercices mais juste la réponse a été pris, nous semble-t-il, pour susciter la curiosité des étudiants et les encourager à persévérer dans la recherche. Mais si les bonnes réponses dénotent assurément un certain niveau de maîtrise, les réponses erronées ne nous renseignent pas d'emblée sur la nature des difficultés rencontrées par les apprenants pour mener à bien cette tâche : Est ce que ce sont les notions de base en jeu dans l'exercice qui posent un problème ? Est ce que la méthode du pivot de Gauss n'est pas mobilisable ? Est ce simplement une erreur de calcul ?

   Le logiciel ne se démarque pas par ses capacités explicatives. Quand la réponse proposée par l'étudiant est erronée, il explique par un contre-exemple pourquoi la réponse proposée ne peut être solution de l'exercice mais il ne détecte ni l'origine ni sa nature puisque seule la solution finale est entrée et non comment elle a été obtenue. Les commentaires sont succincts et ne montrent pas une analyse profonde des réponses et donc ne peuvent orienter l'apprenant en difficulté. La plupart des commentaires est suivie de la formule : « Revoyez vos calculs ! ».

   Comme si tous les apprenants avaient réussi à intégrer la méthode exposée dans « 'Aide », arrivaient à poser le système d'équations qui convient et ne commettaient que des erreurs de calculs en manipulant les équations.

   Face à deux exercices de niveaux de difficulté différents, les commentaires doivent être différents et les mauvaises réponses ne doivent pas être traitées par le logiciel comme si elles étaient dues à des erreurs de calcul sur les systèmes d'équations. Un étudiant qui donne une base de quatre vecteurs pour un sous-espace vectoriel de IR3 mérite mieux que de lui faire remarquer que ses vecteurs sont liés et lui demander de revoir ses calculs sans qu'il y ait aucune allusion à la dimension.

   Le logiciel n'exploite pas suffisamment les capacités de l'ordinateur, en particulier dans le domaine du traitement de l'erreur. Les messages d'aide restent laconiques, ce qui provient du fait qu'ils sont relatifs aux exercices du chapitre dans son ensemble. Mais les apprenants attendent des informations aussi pertinentes et adaptées de la machine que s'il s'agissait d'un humain et si cette attente n'est pas satisfaite, ils perdent leur confiance dans la machine (Rubens 1989). Une option intéressante serait au contraire de les inclure sous une formulation particularisée à chaque exercice. La tâche des concepteurs du logiciel consistera alors pour chaque exercice et question par question à essayer de prévoir quelles erreurs l'apprenant va bien pouvoir faire, et à associer à chacune de ces erreurs un libellé d'aide précis, pointant l'obstacle rencontré ou la notion à revoir. Un pas supplémentaire pourrait être franchi par l'adjonction d'une banque d'information à laquelle renvoyer l'apprenant.

   Cette évaluation ne saurait être complète sans une analyse en situation avec les étudiants. Effectuer une évaluation du logiciel au moyen d'une expérimentation du produit en situation d'utilisation sera le sujet du prochain chapitre.

3. Conditions et déroulement de l'expérimentation

   Nous allons essayer, à travers ces observations, de relever des invariants et de repérer le jeu des interactions qui font sens pour l'apprenant et modèlent ses conduites.

   Nous faisons l'hypothèse en ce qui concerne la consultation du logiciel et l'apprentissage qui en résulte : malgré l'hétérogénéité des étudiants et la diversité des situations de l'enseignement assisté par ordinateur, il existe des régularités dans les processus individuels de consultation et d'acquisition des connaissances.

   Ces régularités peuvent être mises en évidence par des observations cliniques. De plus, nous pensons qu'il existe une certaine rationalité dans ces phénomènes, et par suite une possibilité de reproduction et de contrôle.

   Les étudiants qui ont participé à cette expérimentation sont tous volontaires et sont au nombre de vingt. Ce sont des étudiants non-redoublants de première année de Licence1 Université MohamedV.

3.1. Méthodologie de l'observation

   Sur le plan méthodologique, nous avons opté pour une observation clinique de vingt étudiants assez hétérogènes utilisant le logiciel pour relever directement leurs représentations, pratiques et évolutions.

   Ce choix n'a pas que des avantages. Le nombre limité et le caractère ponctuel des observations peuvent atténuer de la valeur des résultats et de leurs interprétations et surtout des tentatives de généralisation. Cependant le choix effectué nous semble raisonnable au vu de notre problématique. En effet, il ne s'agit pas de faire une étude statistique, mais plutôt d'essayer de dégager des tendances, leurs évolutions et d'émettre quelques hypothèses en se basant sur le nombre important de connaissances dont nous disposons aussi bien en algèbre linéaire qu'en logiciels éducatifs.

3.2. Déroulement de l'observation

   L'expérimentation a commencé en duré du 1^er Décembre 2021 au 20 Janvier 2022 . Elle a duré 6 semaines, une semaine par thème. Il a été indiqué aux étudiants que l'expérience à laquelle ils participaient entrait dans le cadre d'une recherche didactique sur l'apport de l'outil informatique à l'enseignement. Il leur a été mentionné qu'on n'avait aucun rapport avec leurs professeurs et que leurs résultats n'entraient pas dans le cadre de leurs notes de contrôle continu.

   Nous avons choisi que la séquence informatique intervienne à un moment où les savoirs en jeu dans le logiciel ne sont plus enjeu d'enseignement officiel (Chevallard 1989), c'est-à-dire des étudiants qui sont censés être déjà familiarisés avec les concepts mathématiques en jeu dans l'environnement. Les séances informatiques constituent un rappel et un renforcement de ces concepts et surtout un enseignement de méthodes.

   Chaque séance dure 2 heures, concerne un thème et se compose de trois parties. Un pré-test, le travail avec le logiciel et un post-test. La séance commence avec un pré-test papier-crayon qui est toujours le premier exercice de la série. Il vise à juger les connaissances des étudiants avant cet enseignement. Commence après la séance proprement dite organisée autour de la résolution des exercices de la série et qui dure, en moyenne, une heure et demie. La séance finit par un post-test sans ordinateur. C'est le sixième exercice de la même série quand l'étudiant arrive à faire les cinq exercices pendant la séance avec le logiciel. Si à la fin de la séance, c'est à dire une heure et demie, l'étudiant n'a pas encore fini le cinquième exercice alors il choisit un exercice du reste de la même série. Le post-test a pour but de mesurer les effets immédiats de cet enseignement sur les connaissances des étudiants.

3.3. Présentation des étudiants

   Pour avoir une idée générale du niveau en algèbre linéaire des étudiants et de leur évolution, nous avons eu recours à leurs notes des contrôles continus d'algèbre linéaire de l'année en cours, qu'ils nous ont communiquées et de leurs résultats du pré-test et post-test organisés au début et à la fin de chaque séance. La répartition des notes est la suivante :

Codage utilisé : M : moyennes des notes des contrôles continus d'algèbre linéaire telles que les étudiants nous les ont rapportées, * : signifie que l'étudiant maîtrise la méthode de Gauss.

   Pré-test : résultats du pré-test des thèmes : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Post-test : résultats du post-test des thèmes : 1, 2, 3, 4, 5, 6.

3.4. Analyse des résultats

   La moyenne générale des étudiants au contrôles continus atteint à peine 10. L'analyse des bilans globaux montre que l'amélioration des résultats est effective sur trois niveaux. D'abord, on enregistre un net progrès des réponses justes qui passe de 33 (27 %) à 66 (55 %). Ensuite une nette avancée des résultats des post-tests par rapport à la première séance où à peine 7 étudiants (35 %) ont réussi l'exercice du post-test contre 12 étudiants (60 %) pour le dernier thème ( à l'exception du quatrième thème qui a connu le même pourcentage de réussite (35 %) car, comme nous allons le voir les exercices du pré-test et du post-test de ce thème étaient différents ). Enfin, un progrès intéressant des résultats des pré-tests qui passent de 2 (10 %) au premier thème contre pratiquement 6 (30 %) pour les autres thèmes. Pour ce qui est des abstentions, les résultats sont aussi intéressants et encourageants puisqu'elles passent de 41 (34 %) à 12 (10 %).

   Des résultats se dégagent :

• Les étudiants qui maîtrisent la méthode de Gauss pour la résolution des systèmes réussissent mieux que les étudiants qui ont une pratique très limitée de la résolution des systèmes. Nous pensons qu'un thème 0 sur la résolution de systèmes avec paramètres, au sein du logiciel, rendrait des services considérables à beaucoup d'étudiants.

• Les étudiants qui avaient antérieurement de bonnes notes ont tous réussi sans exception leurs post-tests, qu'ils aient réussi ou pas le pré-test.

• Les étudiants qui avaient des résultats moyens ont obtenu des résultats paradoxalement significativement moins bons que des étudiants de moyenne plus faible.

• Les étudiants qui avaient des résultats faibles ont obtenu des résultats médiocres.

3.5. Les questions à l'étude dans l'observation

   Dans nos observations, nous avons centré notre étude, via des situations où toute l'autonomie est laissée à l'étudiant dans son fonctionnement mathématique, sur les questions suivantes :

• Le rôle joué par la disponibilité des prérequis ou plutôt leurs non-disponibilités et s'ils empêchent une opérationnalité raisonnable du logiciel

• L'articulation entre le rappel théorique et les aides proposées par le logiciel et le fonctionnement papier-crayon (P/C) :
  Ceci rejoint nos questions précédentes. Comment vont s'articuler pour l'étudiant le travail avec le logiciel et le travail P/C ? Quelles fonctions va-t-il attribuer à l'aide proposée ? Quand et comment va-t-il l'utiliser ? Quelles difficultés éventuelles vont poser la gestion de ces informations ?

• Le logiciel prône un enseignement basé sur l'enseignement de méthodes et propose des exercices originaux. Quelles sont les réactions et le degré d'intérêt des étudiants face à cet enseignement nouveau et leur capacité de le rattacher avec ce qu'ils font.

4. Dépouillement du questionnaire étudiant

   Nous présentons les résultats du dépouillement du questionnaire distribué aux étudiants à la fin des 6 séances.

   Notons d'abord le fort taux d'adhésion en faveur du logiciel (15 étudiants sur 20) même si certains émettent quelques réserves. Mais n'oublions pas que les 20 étudiants étaient volontaires pour participer à cette expérimentation ce qui peut éventuellement faire un peu douter de leur objectivité. Ils apprécient le contenu qui diffère du cours et des TD habituels ce qui indique une attente réelle de la part des étudiants d'une approche supplémentaire de l'enseignement de l'algèbre linéaire. Cependant, la grande majorité trouve les commentaires insuffisants, ne leur permettant pas de situer leurs erreurs ni de s'assurer de la justesse de leurs stratégies même quand la réponse est correcte.

5. Synthèse générale de l'expérimentation

   Les observations effectuées pendant l'expérimentation du logiciel avec les 20 étudiants ne prétendent pas à une grande rigueur scientifique mais fournissent des précisions intéressantes sur certains effets des activités proposées. Ils ne donnent que des résultats indicatifs d'une portée limitée, mais sont cependant utiles pour confirmer ou infirmer certaines intuitions. Nous ne présentons que les résultats qui ressortent très nettement parce qu'ils ont été relevés chez une grande partie des étudiants ou parce qu'ils correspondent à un consensus de la part des chercheurs :

– Un certain décalage entre les réponses au questionnaire et les pratiques effectives des étudiants. Le questionnaire a donné un rapport positif de 16 étudiants sur les 20. Mais les observations ont laissé percevoir un rapport plus mitigé. Ceux qui ont le plus applaudi lors du questionnaire ne sont pas forcément ceux qui se sont investis le plus et exploité le logiciel de manière satisfaisante. Ceux qui ont apprécié le plus l'apport du logiciel ne sont pas forcément ceux qui ont le mieux réussi le post-test. Nous trouvons le plus d'avis mitigés chez les bons étudiants. Chez les étudiants de niveau moyen, nous avons relevé une grande harmonie entre leurs pratiques effectives et leurs réponses au questionnaire. Plus les étudiants trouvaient des difficultés face aux exercices proposés, plus leur adhésion est grande. D'ailleurs ce sont les étudiants les plus en difficulté qui ont le plus apprécié l'enseignement du logiciel même s'ils profitaient du logiciel moins que les autres.

– Le comportement des étudiants est plus proche d'une séance d'enseignement traditionnelle que nous n'avions pu le supposer et les difficultés d'utilisation du logiciel ont été marginales. Les étudiants, en général, reprennent l'essentiel de l'énoncé sur papier. Ils n'hésitent pas à rédiger les grands traits de la démonstration et à faire les calculs en entier même pour le. Dans ce dernier cas, quand au bout de la deuxième réponse, ils n'ont pas encore trouvé la solution, ils multiplient les essais au hasard. Ils n'hésitent pas, chose qu'ils ne font pas systématiquement en situation usuelle, à consulter les définitions et les aides, que ce soit le rappel théorique ou l'exercice corrigé, à chaque fois qu'ils se trouvent devant une difficulté.

• Une brève excursion dans la jungle buissonnante des concepts et de leurs définitions augure de l'extrême difficulté qu'éprouveraient les étudiants à maîtriser cette discipline (Dorier93, Rogalsky94). Donc pour se familiariser avec ces concepts et se mettre en confiance, les étudiants n'hésitent pas à exploiter la flexibilité offerte par les techniques hypertextes du logiciel. Ils cliquent sur les concepts clefs pour obtenir leurs définitions à chaque fois qu'ils sont en difficulté, même s'ils les avaient déjà notées sur papier. Les cheminements vers ces définitions sont divers, ce qui ne peut qu'aller dans le sens d'une décontextualisation, bénéfique pour l'apprentissage. C'est cette possibilité de pouvoir consulter les définitions, à tout moment, par un simple « clique » que les étudiants semblent le plus apprécier. Elle leur a donné le sentiment de se mouvoir sans effort à travers un environnement d'informations transparent, comme un poisson dans un océan de connaissances » (Davis 90).

• À L'effet positif joué par l'enseignement de méthodes pour familiariser les étudiants avec les objets mathématiques mis en jeu dans le logiciel ce qui a conduit à une amélioration des capacités d'acquisition des concepts (Rogalski, 1990). Aussi bien les résultats des post-tests que des observations recueillies concourent à montrer que devant leur incapacité à faire des exercices à première vue faciles et qui traitent de choses élémentaires, les étudiants ont pris conscience de leurs lacunes. Mais quand ils ont réussi à maîtriser les premiers thèmes et établir des relations avec les thèmes suivants en rendant des « connaissances mobilisables » à la demande, des « connaissances disponibles » et à passer de « savoir que » à « savoir comment », ils ont eu le sentiment d'apprendre des choses importantes et d'évoluer. En effet, en proposant un enseignement basé sur l'enseignement de méthodes et la résolution de problèmes, on peut beaucoup plus facilement que dans d'autres approches susciter l'intérêt des étudiants pour les concepts en jeu.

– « Tous les étudiants ne sont pas égaux devant le savoir ». Ainsi tous les étudiants n'apprennent pas le même concept de la même manière et un même étudiant ne comprendra pas un même concept pareillement, selon la présentation qu'on lui en fait et la tâche dans laquelle il est engagé. Nous avons ainsi observé que ceux qui avaient le plus de connaissances correctes relatives aux concepts en jeu étaient ceux qui étaient le plus capables d'apprendre et d'extraire les connaissances pertinentes ; ils sont par ailleurs peu perturbés par la nouveauté ou par leurs fautes, alors que ceux qui disposent de peu de connaissances en sont très affectés. Les interactions étudiant-logiciel sont déterminantes de l'apprentissage que l'étudiant est capable de construire. En effet si les bons étudiants ont su s'adapter et réussir les exercices du post-test, il n'en est pas de même pour les autres étudiants. Nous avons remarqué que pour les étudiants de niveau moyen, les moins bons obtiennent paradoxalement de meilleurs résultats que des étudiants meilleurs qu'eux. Les premiers rendent les copies du pré-test pratiquement vides et sont conscients de leurs lacunes. Au début de la séance, ils prennent le temps de bien consulter le rappel théorique en prenant des notes avant de passer à l'exercice corrigé. Alors que des étudiants qui ont une meilleure moyenne et qui ont rendu des copies qui dénotent d'une meilleure connaissance des concepts en jeu, croient que ce qu'il leur faut est juste un petit coup de pouce, « comment démarrer ». En général, ils survolent le rappel théorique pour s'attaquer directement à l'exercice corrigé. Le temps passé est significativement moins long que pour la catégorie d'étudiants précédente. Pour les étudiants de niveau faible, en général, au pré-test, les copies rendues étaient quasi vides ou renferment des absurdités qui dénotent une méconnaissance inquiétante des définitions les plus élémentaires. Pendant la séance proprement dite, ils passent en moyenne une heure devant le rappel théorique, l'exercice corrigé et les définitions des concepts clefs (mots en rouge).

   Ensuite, quand ils cherchent à faire les exercices, c'est un va et vient incessant entre l'énoncé et les aides proposées sans grand succès et ils arrivent rarement jusqu'au troisième exercice à la fin de la séance. Même s'ils montrent une bonne volonté, ils sont handicapés par des lacunes béantes que le logiciel n'arrive pas à combler. Des prérequis, parfois méthodologiques sont indispensables pour aborder le logiciel. Certains étudiants ne comprennent pas qu'un contre exemple est suffisant pour réfuter une assertion. Les méthodes de résolution d'un système sont aussi considérées, dans le logiciel, comme un prérequis. Malheureusement, à peine 10 parmi nos 20 étudiants les maîtrisaient et il y a eu une grande différence au niveau des résultats en leur faveur. Nous pouvons dire, sans grand risque de nous tromper, qu'un certain niveau mathématique est indispensable pour aborder le logiciel et sans lequel l'étudiant ne profiterait pas de cet enseignement.

   D'ailleurs il y avait 23 étudiants au départ et nous avons perdu trois étudiants dès le début, 3 étudiants de niveau très faible qui ne sont pas revenus après la première séance où ils n'ont pratiquement rien fait

– Au niveau du processus des mécanismes d'apprentissage et d'utilisation de logiciels et précisément des aides fournies, certaines régularités se sont dégagées dont nous allons rendre compte quoique leur importance ne puisse s'appuyer sur quelques observations seulement. Pour ce qui suit, nous nous sommes inspirés des travaux sur le développement intellectuel initié par Piaget même s'ils ne portent pas directement sur l'évolution intellectuelle dans un environnement incluant des logiciels. Il a distingué quatre grandes phases selon lesquelles l'enfant évolue de la naissance à l'adolescence. En observant les étudiants travaillant avec le logiciel, face à cet enseignement nouveau en rupture avec leur vécu mathématique, nous nous sommes rendu compte qu'il y a une certaine analogie entre le développement intellectuel proposé par Piaget et l'appropriation des nouveaux concepts. Pour assimiler ces nouvelles connaissances, l'étudiant va passer par des stades distingués. La grande différence est que les étudiants arrivent avec un bagage culturel, des expériences personnelles et des interprétations qu'ils en ont données. Ceci ne remet pas en cause le système progressif des stades observé mais influe sur le paramètre temps à associer à ces stades. Il est très difficile de déterminer le temps nécessaire et suffisant pour passer d'un stade à un autre. Il peut même arriver que certains étudiants restent dans le premier stade et soient incapables de passer à un stade supérieur comme il peut y arriver que des étudiants les passent tellement vite qu'on a l'impression qu'ils sautent des stades intermédiaires. Mais ce qui est sûr, c'est que le temps de passage des étudiants à travers ces stades est fonction de leurs acquis précédents et de leur motivation. A l'instar de Piaget, nous distinguons des stades dans l'appropriation des méthodes proposées dans le logiciel :

• Le stade du simple décodage. L'étudiant découvre la connaissance. Ce qu'il voit est neuf pour lui. Il observe la méthode proposée ou l'exercice corrigé et les concepts en jeu en cliquant dessus pour consulter les définitions explicites.

• Le stade de la compréhension. L'étudiant reprend l'exercice corrigé en s'efforçant de faire les calculs intermédiaires, retrouver certains résultats et essayer de citer les définitions des mots en rouge.

• Le stade de l'application. L'étudiant se limite à démontrer par une mise en correspondance terme à terme les étapes de la méthode. Il essaye de faire l'exercice suivant en gardant l'exercice corrigé affiché. Il suit pas à pas la méthode exposée ; « il fait pareil ». C'est aussi le stade de l'acquisition. La compréhension se forge et s'approfondit alors que l'on a l'impression d'avoir affaire à une simple transcription.

• Le stade de l'appropriation. L'étudiant puise le mode de résolution dans sa mémoire. Il va essayer de faire un autre exercice sans aucune aide. Il va essayer d'établir des relations entre ce qu'il fait et ce qu'il a déjà fait. Éventuellement, il va chercher des rapports avec d'autres exercices, d'autres concepts ou de percevoir d'autres implications. Il y en a même qui cherchent à trouver certaines généralisations ce qui représente un processus intellectuel subtil et profond et une pensée d'ordre supérieur et qui correspond à une appropriation conceptuelle qui est à notre avis le but suprême de tout enseignement mathématique.

• Dans notre cas, nous croyons qu'il y a en plus le stade 0 qui correspond au besoin d'apprentissage. L'étudiant est devant un exercice qu'il n'arrive pas à résoudre. Il prend conscience d'une lacune et ressent le besoin de la combler.

Mohamed Oudrhiri
Systèmes d'Éducation et de Formation
Faculté des Sciences de l'Éducation de Rabat, Maroc.

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